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수확 체감

수확 체감(Diminishing Returns)은 원래 경제학의 용어로, 어떠한 재화를 생산하는 데 있어 투입하는 단일 생산요소의 양이 증가함에 따라 단위 투입량에 비한 산출량이 줄어드는 것을 일컫는다. 게임 디자인 요소에서의 수확 체감은 어떤 두 변량 $x, y$에 있어서 $y$의 수준을 증가시키기 위한 목적으로 플레이어가 $x$를 조절할 때, $y$의 수준이 높아짐에 따라 조절해야 하는 $x$의 양이 커지는 것을 의미한다고 정리할 수 있다. 현상이 갖는 단순한 특성상 여러 가지 방법으로 말할 수 있고 혼란을 유발할 수 있지만 모두 같은 것을 의미한다.

수학적으로, 우리가 높은 수치를 얻고자 하는 미분가능한 변량 $y \in \mathbb{R}$가 있다고 하자. 이 때 변량 $x \in \mathbb{R}$이 있어서, $x$가 증가할 때 $y$가 증가한다고 하자. 즉, $\frac{\partial y}{\partial x} > 0$이다. 이 때 $x$와 $y$에 대해 수확 체감이 존재한다는 것은, $x$나 $y$가 커짐에 따라1) $\frac{\partial y}{\partial x}$가 감소한다는 것을 의미한다. $x$에 대한 $y$의 함수의 그래프를 그려 보면 증가하는 오목형 그래프가 됨을 알 수 있다.

예제

1. TRPG 패스파인더에서 캐릭터를 만들 때, 정해진 포인트를 분배해서 캐릭터의 능력 점수(ability score)를 구입할 수 있는 규칙이 있다. 특정 능력 점수(예: 힘)를 $y$, 그 능력 점수에 분배할 포인트를 $x$라고 할 때, $x > 0$인 구간에서 $x$와 $y$의 그래프와 그 추세선은 다음과 같이 나타난다.

1)
둘은 정도의 차이만 있는 같은 방향의 변량이기 때문에 이렇게 섞어서 쓸 수 있다.